Espacio de Hilbert

 En matemáticas, se le llama espacio vectorial al conjunto dotado de dos operaciones binarias denominadas suma y multiplicación por un escalar, y que además satisfacen los diez axiomas siguientes:

i) Cerradura bajo la suma

ii) Ley asociativa de la suma

iii) Existencia de un elemento neutro para la suma (cero)

iv) Existencia del inverso aditivo (elemento opuesto)

v) Ley conmutativa de la suma

vi) Cerradura bajo la multiplicación por un escalar

vii) Distributividad del producto escalar con respecto a la suma vectorial

viii) Distributividad del producto vectorial con respecto a la suma escalar

ix) Ley asociativa de la multiplicación por escalares

x) Existencia del inverso multiplicativo.

Si sobre ese espacio vectorial se define una métrica entonces se dice que el espacio es métrico, y si la métrica induce una norma, entonces el espacio vectorial es normado.

La norma no es más que la longitud del vector, en la geometría euclidiana se define la norma de la siguiente manera:

Sabemos que esta definición para la norma proviene del producto escalar, denotado por:

La norma definida a partir del producto escalar se denota por:

Si este espacio vectorial normado es además completo (espacio de Cauchy), donde la completitud hace referencia a que el espacio sea continuo y convergente.

Es importante que el espacio tienda a un número y que no tenga "huecos", es decir, si se tiene la recta real y a ese conjunto se le quita el número 5, se crea un "hueco" infinitamente pequeño, pero este impide que el espacio sea continúo, por ende no es completo.

La importancia del producto escalar es que nos permite introducir el concepto de ortogonalidad y de ángulos entre vectores, permitiendo generalizar a estos espacios denominados espacios euclídeos, como muchos resultados de la geometría plana como el Teorema de Pitágoras, la identidad del paralelogramo (el cual caracteriza todas las normas que provienen del producto interno) o la proyección ortogonal de un vector sobre otro.

En resumen a los espacio euclídeos dotados de una norma y de un producto escalar se denominan espacios prehilbertianos, si además son espacio completos, entonces se denominan ESPACIOS DE HILBERT.

Las aproximaciones mediante la series de Fourier y la realidad a niveles cuánticos (subatómico) se comportan siguiendo las matemáticas de los espacios de Hilbert, de aquí su importancia.

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